Stammfunktionsrechner
Ein Stammfunktion Rechner hilft dabei, zu einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion zu finden. Das ist die Umkehrung des Ableitens: Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt F′(x) = f(x). Im Folgenden erkläre ich die wichtigsten Rechenregeln und zeige, wie sich Ergebnisse durch Ableiten überprüfen lassen.
Was berechnet der Stammfunktion Rechner?
Für die Funktion f(x) = 2x ist F(x) = x² eine Stammfunktion, denn die Ableitung von x² ist 2x. Auch x² + 5 und x² − 3 haben dieselbe Ableitung. Deshalb gehört zum Ergebnis eines unbestimmten Integrals die Integrationskonstante C:
∫ 2x dx = x² + C
Der Rechner liefert damit nicht nur eine einzelne Funktion, sondern eine ganze Familie von Stammfunktionen. Einen bestimmten Wert für C kann man erst festlegen, wenn eine zusätzliche Bedingung bekannt ist, etwa F(0) = 5.
Beispiele mit Zahlen
Die folgende Tabelle zeigt einfache Funktionen, passende Stammfunktionen und deren Wert an der Stelle x = 2. Die Integrationskonstante bleibt dabei zunächst offen.
| Funktion f(x) | Stammfunktion F(x) | Wert F(2) | Probe durch Ableiten |
|---|---|---|---|
| 2x | x² + C | 4 + C | (x² + C)′ = 2x |
| 3x² | x³ + C | 8 + C | (x³ + C)′ = 3x² |
| 4 | 4x + C | 8 + C | (4x + C)′ = 4 |
| 1/x, für x > 0 | ln(x) + C | ln(2) + C ≈ 0,693 + C | (ln(x) + C)′ = 1/x |
Die Potenzregel anwenden
Viele Polynome lassen sich Glied für Glied integrieren. Für n ≠ −1 gilt:
∫ xn dx = xn+1 / (n + 1) + C
Beim Integrieren wird der Exponent also um eins erhöht; anschließend teilt man durch den neuen Exponenten. Soll beispielsweise f(x) = 6x² + 4x − 3 integriert werden, ergibt sich:
∫ (6x² + 4x − 3) dx = 2x³ + 2x² − 3x + C
Die Probe ist unmittelbar möglich: Die Ableitung von 2x³ + 2x² − 3x + C lautet 6x² + 4x − 3.
Wichtige Ausnahmen und weitere Funktionen
Bei 1/x = x−1 ist die Potenzregel nicht anwendbar, weil dabei durch null geteilt würde. Stattdessen gilt auf einem Intervall ohne x = 0:
∫ (1/x) dx = ln|x| + C
Weitere häufige Ergebnisse sind ∫ ex dx = ex + C und ∫ cos(x) dx = sin(x) + C. Bei zusammengesetzten Ausdrücken genügt eine solche Grundregel oft nicht direkt. So ist 3x² die innere Ableitung von x³; daher gilt ∫ 3x² · cos(x³) dx = sin(x³) + C.
Von der Stammfunktion zum bestimmten Integral
Eine Stammfunktion ermöglicht auch die Berechnung eines bestimmten Integrals. Dazu werden die Werte an der oberen und unteren Grenze voneinander abgezogen. Für f(x) = 3x² ist F(x) = x³ eine Stammfunktion. Zwischen x = 0 und x = 2 ergibt sich:
∫02 3x² dx = F(2) − F(0) = 2³ − 0³ = 8
Die Konstante C fällt bei dieser Differenz weg. Wer ein Ergebnis aus dem Stammfunktion Rechner kontrollieren möchte, leitet die ausgegebene Funktion ab und vergleicht sie mit der ursprünglichen Funktion. Bei bestimmten Integralen folgt danach das Einsetzen der Grenzen.