Satz des Pythagoras Rechner
Gesuchte Seitenlänge: —
Nur für rechtwinklige Dreiecke. Bei „Kathete b“ muss die zweite eingegebene Seite c größer als a sein.
Mit dem Satz des Pythagoras Rechner lässt sich die fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Dafür müssen zwei Seitenlängen bekannt sein. Im Folgenden erkläre ich die Formel, zeige Rechenbeispiele und beschreibe, worauf es bei der Eingabe ankommt.
Die Formel
In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, Katheten. Sie werden mit a und b bezeichnet. Die gegenüberliegende, längste Seite ist die Hypotenuse c. Für ihre Längen gilt:
a² + b² = c²
Gesucht ist die Hypotenuse, werden die Quadrate der Katheten addiert und aus der Summe die Quadratwurzel gezogen. Ist eine Kathete gesucht, wird zuerst das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse abgezogen.
- Hypotenuse berechnen: c = √(a² + b²)
- Kathete a berechnen: a = √(c² − b²)
- Kathete b berechnen: b = √(c² − a²)
Rechenbeispiele
Die folgende Tabelle zeigt, wie sich eine fehlende Seitenlänge aus zwei bekannten Werten ergibt. Alle Längen sind in Zentimetern angegeben.
| Gegeben | Gesucht | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| a = 3 cm, b = 4 cm | c | √(3² + 4²) = √25 | 5 cm |
| c = 13 cm, a = 5 cm | b | √(13² − 5²) = √144 | 12 cm |
| a = 2,5 cm, b = 4 cm | c | √(2,5² + 4²) = √22,25 | etwa 4,72 cm |
Beim ersten Beispiel ergeben die Quadrate der Katheten 9 cm² und 16 cm². Ihre Summe beträgt 25 cm²; die Wurzel daraus ist 5 cm. Beim zweiten Beispiel ist die Hypotenuse bereits bekannt. Deshalb wird gerechnet: 13² − 5² = 169 − 25 = 144. Die gesuchte Kathete ist 12 cm lang.
Wofür ist der Rechner nützlich?
Ein häufiger Anwendungsfall ist die Diagonale eines Rechtecks. Teilt man das Rechteck entlang seiner Diagonale, entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Bei einer Breite von 6 m und einer Länge von 8 m misst die Diagonale √(6² + 8²) = √100 = 10 m. Auf dieselbe Weise lassen sich etwa diagonale Abstände in einer Skizze oder zwischen zwei rechtwinklig zueinander verlaufenden Strecken bestimmen.
Worauf bei der Berechnung zu achten ist
Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Außerdem müssen die eingegebenen Längen dieselbe Einheit haben: Wer beispielsweise 1 m und 50 cm verwenden möchte, rechnet vorher 1 m in 100 cm um. Das Ergebnis liegt dann ebenfalls in Zentimetern vor.
Die Hypotenuse ist stets länger als jede einzelne Kathete. Soll eine Kathete berechnet werden, muss die bekannte Hypotenuse daher größer sein als die bekannte Kathete. Ein negatives Ergebnis unter der Wurzel zeigt, dass die Längen nicht zu einem solchen rechtwinkligen Dreieck passen. Bei gerundeten Eingabewerten kann auch das berechnete Ergebnis nur entsprechend genau sein.
Um zu prüfen, ob drei bekannte Seitenlängen ein rechtwinkliges Dreieck bilden, kann man die Gleichung ebenfalls verwenden: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten müssen zusammen das Quadrat der längsten Seite ergeben. Für 3, 4 und 5 gilt beispielsweise 3² + 4² = 5².