Mitternachtsformel-Rechner
Mit dem Mitternachtsformel Rechner lassen sich die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnen. Dazu gibst du die Koeffizienten a, b und c ein. Im Folgenden erkläre ich, wie die Formel funktioniert, was die Diskriminante aussagt und wie sich die Ergebnisse prüfen lassen.
Welche Gleichungen löst die Mitternachtsformel?
Die Mitternachtsformel gilt für Gleichungen in der Form ax2 + bx + c = 0. Dabei muss a ≠ 0 sein. Ist a gleich null, liegt keine quadratische, sondern eine lineare Gleichung vor.
Die beiden möglichen Lösungen berechnen sich so:
x1,2 = (−b ± √(b2 − 4ac)) / (2a)
Das Zeichen ± steht für zwei Rechnungen: einmal mit Plus und einmal mit Minus vor der Wurzel. Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante und wird häufig mit D = b2 − 4ac abgekürzt.
Koeffizienten richtig eingeben
Bevor du den Rechner verwendest, bringst du die Gleichung in die Form ax2 + bx + c = 0. Die Koeffizienten übernehmen ihre Vorzeichen. Fehlt ein Term, ist sein Koeffizient null.
- Bei 2×2 − 5x + 3 = 0 gilt: a = 2, b = −5 und c = 3.
- Bei x2 − 9 = 0 gilt: a = 1, b = 0 und c = −9.
- Bei −x2 + 4x = 0 gilt: a = −1, b = 4 und c = 0.
Steht rechts vom Gleichheitszeichen noch ein Wert, muss er zuerst auf die linke Seite gebracht werden. Aus x2 + 3x = 4 wird beispielsweise x2 + 3x − 4 = 0.
Rechenbeispiele und Ergebnisse
| Gleichung | a, b, c | Diskriminante D | Lösungen |
|---|---|---|---|
| x2 − 3x + 2 = 0 | 1, −3, 2 | 9 − 8 = 1 | x1 = 2; x2 = 1 |
| 2×2 + 4x − 6 = 0 | 2, 4, −6 | 16 + 48 = 64 | x1 = 1; x2 = −3 |
| x2 + 2x + 1 = 0 | 1, 2, 1 | 4 − 4 = 0 | x = −1 (doppelte Lösung) |
| x2 + 1 = 0 | 1, 0, 1 | 0 − 4 = −4 | Keine reelle Lösung |
Für die erste Gleichung ergibt sich D = (−3)2 − 4 · 1 · 2 = 1. Eingesetzt in die Mitternachtsformel folgt x1,2 = (3 ± 1) / 2. Damit sind die Lösungen 2 und 1.
Was die Diskriminante bedeutet
Schon vor dem vollständigen Ausrechnen zeigt D, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat:
- D > 0: Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen.
- D = 0: Es gibt eine doppelte reelle Lösung. Sie lautet x = −b / (2a).
- D < 0: Es gibt keine reelle Lösung, weil aus einer negativen Zahl keine reelle Quadratwurzel gezogen werden kann.
Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es auch bei D < 0 Lösungen. Für x2 + 1 = 0 sind das x = i und x = −i, wobei i2 = −1 gilt.
Ergebnisse durch Einsetzen prüfen
Eine Lösung muss die ursprüngliche Gleichung erfüllen. Bei 2×2 + 4x − 6 = 0 liefert das Einsetzen von x = −3 beispielsweise 2 · 9 + 4 · (−3) − 6 = 18 − 12 − 6 = 0. Die Probe hilft besonders dann, wenn beim Übertragen der Koeffizienten ein Vorzeichenfehler möglich ist.
Die Mitternachtsformel lässt sich durch quadratische Ergänzung herleiten. Aus ax2 + bx + c = 0 folgt für a ≠ 0 die Gleichung (2ax + b)2 = b2 − 4ac. Wurzelziehen und anschließendes Umstellen nach x ergeben die beiden Ausdrücke der Mitternachtsformel.