Modulo-Rechner
Der Modulo Rechner ermittelt, welcher Rest übrig bleibt, wenn eine ganze Zahl durch eine andere geteilt wird. Das Ergebnis der Rechnung 17 mod 5 ist beispielsweise 2: Die 5 passt dreimal vollständig in die 17, danach bleiben 2 übrig. Im Folgenden erkläre ich die Rechnung und zeige, wofür der Rest nützlich ist.
Was bedeutet „modulo“?
Bei einer Division mit Rest lässt sich die Ausgangszahl aus drei Teilen zusammensetzen:
Ausgangszahl = Divisor × ganzzahliger Quotient + Rest
Für 17 geteilt durch 5 lautet die Rechnung:
17 = 5 × 3 + 2
Die 17 ist die Ausgangszahl, die 5 der Divisor und die 2 der Rest. Daher schreibt man 17 mod 5 = 2. Ein Modulo Rechner liefert diesen Rest direkt, ohne dass man den ganzzahligen Quotienten selbst bestimmen muss.
Modulo berechnen: Beispiele
Bei einem positiven Divisor ist der Rest immer mindestens 0 und kleiner als der Divisor. Ist eine Zahl ohne Rest teilbar, ergibt die Modulo-Rechnung 0.
| Rechnung | Division mit Rest | Modulo-Ergebnis |
|---|---|---|
| 17 mod 5 | 17 = 5 × 3 + 2 | 2 |
| 20 mod 6 | 20 = 6 × 3 + 2 | 2 |
| 24 mod 6 | 24 = 6 × 4 + 0 | 0 |
| 100 mod 7 | 100 = 7 × 14 + 2 | 2 |
| 123456 mod 10 | 123456 = 10 × 12345 + 6 | 6 |
Das letzte Beispiel zeigt eine einfache Regel: Bei einer positiven ganzen Zahl liefert mod 10 ihre letzte Ziffer. Für 123456 ist das die 6.
Wofür wird Modulo verwendet?
Mit Modulo lassen sich wiederkehrende Abläufe berechnen. Eine Uhr ist ein anschauliches Beispiel: Auf 23 Uhr folgt nicht 24 Uhr, sondern 0 Uhr. Wenn es 22 Uhr ist und fünf Stunden vergehen, ergibt sich (22 + 5) mod 24 = 3. Es ist dann 3 Uhr.
Auch die Teilbarkeit lässt sich über den Rest prüfen. Eine ganze Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn bei der Division durch 6 kein Rest bleibt. Deshalb gilt 24 mod 6 = 0, während 20 mod 6 = 2 ist. Ob eine ganze Zahl gerade oder ungerade ist, zeigt entsprechend die Rechnung mod 2: Der Rest ist 0 oder 1.
In der Programmierung wird Modulo häufig genutzt, um eine Position nach dem Ende einer Liste wieder an ihren Anfang zu setzen. Hat eine Liste sieben Positionen mit den Nummern 0 bis 6, verweist 8 mod 7 = 1 auf Position 1.
Negative Zahlen und Division durch null
Bei negativem Ausgangswert und positivem Divisor kann ein nichtnegativer Rest verwendet werden. So gilt −17 mod 5 = 3, denn −17 = 5 × (−4) + 3. Manche Programmiersprachen und Rechenwerkzeuge legen den Rest bei negativen Zahlen jedoch anders fest. Wer Ergebnisse zwischen verschiedenen Systemen vergleicht, sollte deren jeweilige Regel prüfen.
Modulo 0 ist nicht definiert. Eine Division durch null ist nicht möglich; deshalb kann ein Modulo Rechner für einen Divisor von 0 keinen gültigen Rest berechnen.