Grenzwertrechner
Ein Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich eine Funktion nähert, wenn ihre Eingabe gegen eine bestimmte Zahl oder gegen unendlich geht. Der Grenzwert Rechner hilft dabei, solche Aufgaben zu bearbeiten. Im Folgenden erkläre ich, wie Grenzwerte entstehen, welche Rechenwege häufig gebraucht werden und warum ein einzelner Funktionswert nicht immer die Antwort liefert.
Was bedeutet ein Grenzwert?
Die Schreibweise limx→a f(x) = L bedeutet: Wenn sich x dem Wert a nähert, nähert sich f(x) dem Wert L. Ob die Funktion direkt an der Stelle a definiert ist, spielt dafür nicht zwingend eine Rolle.
Ein einfaches Beispiel ist f(x) = x + 3. Für x → 2 gilt limx→2 (x + 3) = 5. Hier kann man x = 2 unmittelbar einsetzen. Bei anderen Funktionen führt das Einsetzen zunächst zu einem Ausdruck wie 0/0. Dann ist ein weiterer Rechenschritt nötig.
Beispiel: Einen Bruchterm vereinfachen
Gesucht ist der Grenzwert von (x2 − 4)/(x − 2) für x → 2. Direktes Einsetzen ergibt 0/0. Das ist kein Ergebnis, sondern ein Hinweis darauf, dass der Ausdruck umgeformt werden muss:
(x2 − 4)/(x − 2) = [(x − 2)(x + 2)]/(x − 2) = x + 2 für x ≠ 2.
Damit lässt sich der Grenzwert berechnen: limx→2 (x2 − 4)/(x − 2) = 4. Der ursprüngliche Bruch ist bei x = 2 zwar nicht definiert; seine Werte nähern sich von beiden Seiten dennoch der Zahl 4.
| x | (x2 − 4)/(x − 2) |
|---|---|
| 1,9 | 3,9 |
| 1,99 | 3,99 |
| 2,01 | 4,01 |
| 2,1 | 4,1 |
Die Zahlen veranschaulichen das Ergebnis. Die Begründung liefert hier die algebraische Umformung: Für alle zulässigen Werte nahe 2 stimmt der Bruchterm mit x + 2 überein.
Weitere typische Grenzwerte
| Ausdruck | Annäherung | Ergebnis | Grundidee |
|---|---|---|---|
| x2 + 1 | x → 3 | 10 | Direktes Einsetzen |
| (3×2 + 2x)/(x2 + 1) | x → ∞ | 3 | Führende Terme vergleichen |
| sin(x)/x | x → 0 | 1 | Bekannter Grenzwert bei x im Bogenmaß |
| 1/x | x → 0 | Kein zweiseitiger Grenzwert | Links und rechts verschiedenes Verhalten |
Beim zweiten Tabellenbeispiel kann man Zähler und Nenner durch x2 teilen. Es entsteht (3 + 2/x)/(1 + 1/x2). Für x → ∞ gehen 2/x und 1/x2 gegen 0; übrig bleibt 3.
Linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte
Eine Funktion kann sich von links anders verhalten als von rechts. Bei 1/x gilt für x → 0 von rechts: Die Funktionswerte wachsen unbegrenzt ins Positive. Von links werden sie unbegrenzt negativ. Deshalb existiert an dieser Stelle kein gemeinsamer zweiseitiger Grenzwert.
Bei der Arbeit mit dem Grenzwert Rechner ist diese Unterscheidung wichtig. Wer nur Werte auf einer Seite der gesuchten Stelle betrachtet, kann das Verhalten der anderen Seite übersehen.
Worauf bei der Eingabe zu achten ist
Für eine Grenzwertaufgabe werden die Funktion, die Variable und die Stelle benötigt, der sich die Variable nähert. Klammern machen Bruchterme eindeutig: (x^2-4)/(x-2) bezeichnet einen anderen Ausdruck als x^2-4/x-2. Bei einer Annäherung gegen unendlich oder bei einseitigen Grenzwerten muss außerdem die betreffende Richtung klar sein.
Werte sehr nahe an der gesuchten Stelle können einen Grenzwert vermuten lassen, ersetzen aber nicht immer eine Rechnung. Insbesondere bei nicht definierten Stellen, stark schwankenden Funktionen oder unterschiedlichem Verhalten von links und rechts lohnt es sich, das angezeigte Ergebnis durch Umformen oder durch die passenden Grenzwertregeln zu prüfen.