Ableitungsrechner
Ein Ableitungsrechner bestimmt die Ableitung einer Funktion nach einer Variablen. Die Ableitung beschreibt, wie stark sich der Funktionswert an einer bestimmten Stelle ändert. Bei einem Weg-Zeit-Zusammenhang entspricht diese Änderungsrate beispielsweise der momentanen Geschwindigkeit. Im Folgenden erkläre ich, wie du das Ergebnis des Rechners liest und einfache Ableitungen selbst überprüfst.
Was gibt der Ableitungsrechner aus?
Gib eine Funktion wie f(x) = x³ − 4x² + 2x − 7 ein und wähle die Variable x. Die abgeleitete Funktion lautet:
f′(x) = 3x² − 8x + 2
Das Ergebnis f′(x) ist selbst eine Funktion. Erst wenn du einen Wert für x einsetzt, erhältst du die Steigung an einer konkreten Stelle. Für x = 2 ergibt sich:
f′(2) = 3 · 2² − 8 · 2 + 2 = 12 − 16 + 2 = −2
Der Graph von f hat bei x = 2 also die Steigung −2: Die Tangente fällt dort von links nach rechts.
Rechenbeispiel: Funktionswerte und Steigungen
Die folgende Tabelle zeigt, warum Funktionswert und Ableitung nicht verwechselt werden sollten. f(x) gibt die Höhe des Graphen an, f′(x) seine Steigung.
| x | Funktionswert f(x) | Ableitung f′(x) | Deutung der Steigung |
|---|---|---|---|
| 0 | −7 | 2 | steigend |
| 1 | −8 | −3 | fallend |
| 2 | −11 | −2 | fallend |
| 3 | −10 | 5 | steigend |
Mit dem Funktionswert und der Steigung lässt sich auch die Tangente bei x = 2 berechnen. Weil f(2) = −11 und f′(2) = −2 gelten, hat sie die Gleichung y = −2(x − 2) − 11, vereinfacht y = −2x − 7.
Regeln zum Ableiten
Ein Ableitungsrechner wendet die Ableitungsregeln auf den eingegebenen Ausdruck an. Bei Polynomen reicht oft die Potenzregel: Aus xⁿ wird n · xⁿ⁻¹. Eine reine Zahl fällt beim Ableiten weg, weil eine konstante Funktion überall die Steigung null hat.
| Funktion f(x) | Ableitung f′(x) | Verwendete Regel |
|---|---|---|
| 7 | 0 | Konstantenregel |
| x⁴ | 4x³ | Potenzregel |
| 3x² + 5x | 6x + 5 | Summenregel |
| (3x² + 1)⁴ | 24x(3x² + 1)³ | Kettenregel |
| x / (x + 1) | 1 / (x + 1)² | Quotientenregel |
Bei verschachtelten Funktionen ist die Kettenregel wichtig. Für f(x) = (3x² + 1)⁴ wird zunächst die äußere Potenz abgeleitet. Anschließend wird mit der Ableitung des inneren Ausdrucks, also 6x, multipliziert:
f′(x) = 4(3x² + 1)³ · 6x = 24x(3x² + 1)³
Definitionsbereich und Schreibweise beachten
Eine rechnerisch korrekte Ableitungsformel gilt nur dort, wo die ursprüngliche Funktion definiert und differenzierbar ist. Beim Beispiel f(x) = x / (x + 1) sind sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung bei x = −1 nicht definiert. Auch |x| besitzt bei x = 0 keine Ableitung, weil der Graph dort einen Knick hat.
Setze bei der Eingabe Klammern eindeutig: (3x² + 1)⁴ bezeichnet eine andere Funktion als 3x² + 1⁴. Wenn ein Ergebnis unerwartet aussieht, prüfe zuerst die Klammern, die gewählte Ableitungsvariable und den Definitionsbereich. So lässt sich der Ableitungsrechner auf coprozessor.de nicht nur zum Berechnen, sondern auch zum Kontrollieren eigener Rechenwege nutzen.