n über k
„n über k“ bezeichnet den Binomialkoeffizienten. Er gibt an, wie viele verschiedene Gruppen aus k Elementen sich aus insgesamt n Elementen bilden lassen. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle. Mit dem n über k Rechner kannst du diese Anzahl direkt berechnen.
Was bedeuten n und k?
n ist die Anzahl aller verfügbaren Elemente, k die Anzahl der ausgewählten Elemente. Wenn aus fünf Personen ein Team mit zwei Mitgliedern zusammengestellt wird, gilt also n = 5 und k = 2. Ein Team aus Anna und Ben ist dasselbe Team wie eines aus Ben und Anna – es wird nur einmal gezählt.
Im Folgenden erkläre ich die Rechnung anhand kleiner Beispiele. Für ganze Zahlen mit 0 ≤ k ≤ n lautet die Formel:
n über k = n! / (k! · (n − k)!)
Das Ausrufezeichen steht für die Fakultät: Beispielsweise ist 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Außerdem gilt 0! = 1.
Rechenbeispiele
Bei fünf Personen und zwei Teamplätzen ergibt sich:
5 über 2 = 5! / (2! · 3!) = 120 / (2 · 6) = 10
Es gibt somit zehn unterschiedliche Zweierteams. Die folgende Tabelle zeigt weitere Eingaben für den n über k Rechner:
| n | k | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 5 · 4 / (2 · 1) | 10 |
| 8 | 3 | 8 · 7 · 6 / (3 · 2 · 1) | 56 |
| 10 | 0 | 10! / (0! · 10!) | 1 |
| 10 | 3 | 10 · 9 · 8 / (3 · 2 · 1) | 120 |
Ein größeres Beispiel ist die Auswahl von sechs Zahlen aus 49: 49 über 6 = 13.983.816. Diese Zahl beschreibt die möglichen Sechserkombinationen, sofern jede Zahl höchstens einmal gewählt wird und ihre Reihenfolge unerheblich ist.
Wann ist n über k die richtige Rechnung?
Der Binomialkoeffizient passt, wenn aus unterscheidbaren Elementen eine Gruppe ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt wird. Soll die Reihenfolge dagegen zählen, ist das Ergebnis ein anderes: Aus fünf Personen lassen sich 5 · 4 = 20 verschiedene Besetzungen für einen ersten und einen zweiten Platz bilden. Für ein Zweierteam sind es nur 5 über 2 = 10 Möglichkeiten.
Auch die Randfälle sind eindeutig: n über 0 = 1, weil es genau eine Möglichkeit gibt, nichts auszuwählen. Ebenso gilt n über n = 1. Für nichtnegative ganze Zahlen mit k > n setzt man den Binomialkoeffizienten gleich null – aus fünf Elementen lässt sich keine Gruppe aus sechs verschiedenen Elementen bilden.
Symmetrie und eine hilfreiche Rechenregel
Es gilt n über k = n über (n − k). Wer aus acht Elementen drei auswählt, legt damit zugleich fest, welche fünf übrig bleiben. Daher ist 8 über 3 = 8 über 5 = 56.
Eine weitere Regel verbindet benachbarte Binomialkoeffizienten: n über k = (n − 1) über (k − 1) + (n − 1) über k. Zum Beispiel ergibt sich 6 über 2 = 5 über 1 + 5 über 2 = 5 + 10 = 15. Diese Beziehung bildet auch die Grundlage des Pascalschen Dreiecks.