Polynomdivision
Mit dem Polynomdivision Rechner kannst du ein Polynom durch ein anderes Polynom teilen. Das Ergebnis besteht aus einem Quotienten und gegebenenfalls einem Rest. Die Rechnung funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division von Zahlen: Man teilt den jeweils höchsten Term, multipliziert zurück und subtrahiert.
Im Folgenden erkläre ich das Verfahren an einem Beispiel und zeige, woran du ein Ergebnis überprüfen kannst.
So funktioniert die Polynomdivision
Das zu teilende Polynom heißt Dividend, das Polynom, durch das geteilt wird, Divisor. Für jedes Ergebnis gilt:
Dividend = Divisor · Quotient + Rest
Der Rest ist entweder null oder hat einen niedrigeren Grad als der Divisor. Bei der Division durch einen linearen Term wie x − 2 ist ein möglicher Rest daher eine Zahl.
Rechenbeispiel mit vollständiger Division
Wir teilen 2x³ + 3x² − 11x − 6 durch x − 2. Zuerst werden die höchsten Terme dividiert: 2x³ : x = 2x². Anschließend wird 2x² mit dem gesamten Divisor multipliziert und das Produkt vom Dividendenteil abgezogen.
| Schritt | Aktueller Ausdruck | Quotiententerm | Ergebnis der Subtraktion |
|---|---|---|---|
| 1 | 2x³ + 3x² − 11x − 6 | 2x² | 7x² − 11x − 6 |
| 2 | 7x² − 11x − 6 | 7x | 3x − 6 |
| 3 | 3x − 6 | 3 | 0 |
Die Quotiententerme ergeben zusammen 2x² + 7x + 3. Weil der Rest null ist, geht die Division ohne Rest auf:
(2x³ + 3x² − 11x − 6) : (x − 2) = 2x² + 7x + 3
Zur Kontrolle multiplizierst du zurück: (x − 2)(2x² + 7x + 3) = 2x³ + 3x² − 11x − 6.
Was bedeutet ein Rest?
Nicht jede Polynomdivision geht ohne Rest auf. Beispielsweise ergibt (x² + 1) : (x − 1) den Quotienten x + 1 und den Rest 2. Die Probe lautet x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2.
| Dividend | Divisor | Quotient | Rest |
|---|---|---|---|
| x² − 9 | x − 3 | x + 3 | 0 |
| x³ + 1 | x + 1 | x² − x + 1 | 0 |
| x² + 1 | x − 1 | x + 1 | 2 |
Eingaben ordnen und Ergebnis nutzen
Schreibe Dividend und Divisor nach absteigenden Potenzen von x auf. Fehlende Potenzen kannst du mit dem Koeffizienten null ergänzen: Aus x³ + 1 wird für die Rechnung x³ + 0x² + 0x + 1. So geraten beim Subtrahieren keine Terme in die falsche Spalte. Durch das Nullpolynom darf nicht dividiert werden.
Eine Division ohne Rest hilft auch beim Zerlegen eines Polynoms in Faktoren. Im ersten Beispiel ist x − 2 ein Faktor von 2x³ + 3x² − 11x − 6. Deshalb ist x = 2 eine Nullstelle. Der Polynomdivision Rechner auf coprozessor.de liefert dir Quotient und Rest; mit der Rückmultiplikation kannst du beide Angaben selbst prüfen.